\documentclass[screen]{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{xcolor}
%\usepackage{beamerthemesplit}
\usepackage{comment,multicol,multirow}
\usepackage{hyperref}
\mode<presentation>
\usetheme{Warsaw}
 
% Angi tittelen, vi gir også en kortere variant som brukes nederst på
% hver slide:
\title[5.mars 2012]%
{TMA 4245 Statistikk  V2012-\LaTeX-mal}

% Denne kan du også bruke hvis det passer seg:
%\subtitle{Valgfri undertittel}

% Angir foredragsholder, også en (valgfri) kortversjon i
% hakeparanteser først som kommer nederst på hver slide:
\author[I. Steinsland]{Ingelin Steinsland}

% Institusjon. Bruk gjerne disse slik det passer best med det du vil
% ha.  Valgfri kortversjon her også
\institute[NTNU]{Institutt for matematiske fag}

% Datoen blir også trykket på forsida. 
\date{5.mars 2012}
%\date{} % Bruk denne hvis du ikke vil ha noe dato på forsida.

% Fra her av begynner selve dokumentet
\begin{document}

\begin{frame}{Plan for dagen}
 \begin{itemize}
  \item To utval med kjent varians
  \item To utval med felles ukjent varians
  \item To utval med ulik ukjent varians
  \item Parutval
  \item To andelar
\begin{itemize}
 \item Eksamen juni 2007, 1c)
\end{itemize}

 \end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}{Typiske sp\o rsm\aa l }
\begin{itemize}
\item Kva er gjennomsnittsh\o gda for NTNU-studiner.{\color{olive}Estimering}
\item Er eg h\o gare enn gjennomsnittleg kvinneleg NTNU-student. {\color{olive}Hypotesetest}
\item Kva er forskjellen i kvalitet p\aa\ laks for lagringsmetode 1 og lagringsmetode 2. {\color{olive}Estimering}
\item Er kvaliteten p\aa\ laks ved lagringsmetode 2 betre enn ved lagringsmetode 1. {\color{olive}Hypotesetest}
\end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}{Lagring av fisk}
To lagringsmetodar; metode 1 og metode 2.\\
Antar:
\begin{itemize}
\item $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma^2)$ for $i=1,2,\dots, n_1$
\item $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma^2)$ for $i=1,2,\dots, n_2$
\end{itemize}
Ønsker å finne eit K.I. for $\mu_1-\mu_2$ med data:
\begin{itemize}
\item $n_1=6$, $\bar{x_1}=71.89$ og $s_1^2=6.28^2$
\item $n_2=6$, $\bar{x_2}=72.50$ og $s_2^2=6.54^2$
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Lagring av fisk}
\includegraphics[scale=0.4]{/home/ingelins/Documents/Fag/Statistikk/TMA4245V09/FiskeData.pdf} 
\end{frame}

\begin{frame}{Konfidensintervall}
Har eit nivå av trygghet for at sann parameter ligg i intervallet.
\begin{enumerate}
\item Finn observator der parameter av interesse og estimator inngår:
\begin{itemize}
\item {\color{blue}$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$}, \\
når SGT eller  $X_i \overset{u.i.f.}{\sim} N(\mu, \sigma ^2)$
\item {\color{blue}$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}$}, \\
når $X_i \overset{u.i.f.}{\sim} N(\mu, \sigma ^2)$ og 
$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$
\item {\color{blue}$X^2=\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$}, \\
når $X_i \overset{u.i.f.}{\sim} N(\mu, \sigma ^2)$ og $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$
\end{itemize}
\item Har at (f.eks) $P(-z_{\alpha/2}<Z<z_{\alpha/2})=1-\alpha$.
\item Løyser ut for parameter, (f.eks. $\mu$); $P(\hat{\mu_L}<\mu<\hat{\mu_L})=1-\alpha$.
\item Konfidensintervall; sett inn for data: $[\mu_L^*, \mu_U^*] $
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Finn $95\%$ K.I for $\mu_1-\mu_2$, lik og kjent varians}
Har $\alpha = 0.05$ og at $P(-z_{\alpha /2}< Z < z_{\alpha /2}) = 1-\alpha$

\begin{itemize}
\item Sett inn for $Z$
\item Løys ut for $(\mu_1-\mu_2)$:
{\tiny{
\[
 P \left[(\bar{X_1}-\bar{X_2}) - 
z_{\alpha /2} \sigma \sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} < \mu_1-\mu_2 <
(\bar{X_1}-\bar{X_2}) + z_{\alpha /2} \sigma \sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}\right]=1-\alpha
\]}}
\end{itemize}


Konfidensintervall:
 \[\left[(\bar{x_1}-\bar{x_2}) - z_{\alpha /2} \sigma \sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}; 
(\bar{x_1}-\bar{x_2}) + z_{\alpha /2} \sigma \sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}\right] \]
\end{frame}

\begin{frame}{KI, to utval med ulik og ukjent varians}
Har $Var(\bar{X_1}-\bar{X_2})=\sigma_1^2/n_1 + \sigma_2^2 / n_2$. \\
Kan vise at
\[
T = \dfrac{(\bar{X_1}-\bar{X_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{S_1^2/n_1 + S_2^2/n_2}}
\overset{approx}{\sim} T_\nu
\]
Fridomsgrader to utval med ulik varians

\[
\nu = \dfrac{(s_1^2/n_1 + s_2^2 /n_2)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}
\]


$\nu$ estimat, rund ned til nærmaste heiltal.
\end{frame}

\begin{frame}{Bildekk}
Du skal samanlikne slitasje av to typar bildekk, dekk $A$ og dekk $B$.
Du har ti frivillige test-sjåførar som skal bruke dekkene på sine bilar i ein månad.

\begin{description}
\item[Alt 1:] Fem bilar med dekk $A$ og fem bilar med dekk $B$.
\item[Alt 2:] Kvar bil har to av dekk $A$ og to av dekk $B$.
\end{description}

Kva gjer du? Kvifor?

\end{frame}

\begin{frame}{Bildekk, kva og kvifor}
\begin{itemize}
\item Slitasje vil avhenge mykje av kva dekka har vore utsatt for 
(antall mil, offansiv kjøring, vegkvalitet). 
\item Med alternativ 2 kan vi samanlikne dekk som har vore utsatt for det same.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Lagring av fisk, differansar}
\includegraphics[scale=0.3]{/home/ingelins/Documents/Fag/Statistikk/TMA4245V09/FiskeDataDiff.pdf} 
\end{frame}



\begin{frame}{REP: Geometrisk fordeling}
\textit{Fordelinga til antall terningkast inntil f\o rste sekesar.}

\begin{itemize}
\item Uavhengige fors\o k med suksess / ikkje-suksess.
\item Likt suksess-sannsyn i alle fors\o ka.
\item $X$: antall fors\o k t.o.m. f\o rste suksess.
\item $X$ er d\aa\ geometrisk fordelt
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{REP: Geometrisk fordeling, {\color{olive}pengespelet}}

\begin{itemize}
\item Uavhengige fors\o k med suksess / ikkje-suksess. \\ {\color{olive}Svarar feil / svarar rett}
\item Likt suksess-sannsyn i alle fors\o ka. \\ {\color{olive}Likt sannsyn $p$ for \aa\ svare feil.}
\item $X$: antall fors\o k t.o.m. f\o rste suksess. \\ {\color{olive}t.o.m. f\o rste feile svar}.
\item $X$ er d\aa\ geometrisk fordelt
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{REP, Sannsynsmaksimeringsestimator, SME}
Finn den verdien for parameteren $\theta$ ({\color{olive} pengespelet $\theta = p$})
som gjev h\o gast sannsyn for \aa\ observere dei dataene vi har observert.

\begin{block}{OPPSKRIFT}

\begin{itemize}
\item Finn likelihoodfunksjonen $L(\theta;x_1, x_2, \dots , x_n) = f(x_1, x_2, \dots ,x_n; \theta) \overset{uavh}{=} \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$
\item Finn toppunkt av likelihoodfunksjonen:
\begin{itemize}
\item Tar $\ln$ av $L$; $l(\theta;x_1, x_2, \dots , x_n) = \ln(L(\theta;x_1, x_2, \dots , x_n))$. \\
\textit{Reknetriks som nesten alltid blir brukt. $L$ og $l$ har same toppunkt.}
\item Deriverer og set lik $0$; $\dfrac{\partial}{\partial \theta} l(\theta;x_1, x_2, \dots , x_n) = 0$
\item L\o yser ut for $\theta$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}


\begin{frame}{REP, Bernoulli-prosess, binomisk fordeling}

Bernoulli-prosess
\begin{itemize}
\item $n$ uavhengige fors\o k.
\item Kvart fors\o k resulterer i suksess eller ikkje-suksess.
\item Sannsynet $p$ for suksess er likt i alle fors\o k.
\end{itemize}

La $X$ vere antall suksess. D\aa\ er $X \sim bin(n,p)$ 

\end{frame}

\begin{frame}{Bernoulli-prosess, binomisk fordeling, {\color{olive}pengespelet}}

Bernoulli-prosess
\begin{itemize}
\item $n$ uavhengige fors\o k.\\
{\color{olive}$n_1$ uavhengige deltakarar}
\item Kvart fors\o k resulterer i suksess eller ikkje-suksess. \\
{\color{olive}Kvar deltakar klarer enten ferre enn $5$ oppg\aa ver ($C$) eller $5$ eller fleire oppg\aa ver ($C'$).}
\item Sannsynet $p$ for suksess er likt i alle fors\o k.\\
{\color{olive}$P(C)=q_1$ i alle fors\o ka}
\end{itemize}

La $X$ vere antall suksess. D\aa\ er $X \sim bin(n,p)$ \\
{\color{olive}Lar $Z_1$ vere antall deltakarar med ferre enn $5$ rette. D\aa\ er $Z_1 \sim bin(n_1, q_1)$}
\end{frame}

\begin{frame}{REP Sentralgrenseteoremet(SGT)}

\begin{block}{Sentralgrenseteoremet, teorem 8.2}
 La $X_i$, $i=1,2,\dots ,n$ vere uavhengige identisk fordelte (u.i.f.) stokastiske vaiable
med $E(X_i)=\mu$ og $Var(X_i)=\sigma^2< \infty$ (endeleg varians). 
La $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ og $Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2 / n}}$. 
Då
\[
 Z \rightarrow N(0,1)
\]
når $n \rightarrow \infty$.

Dette tilsvarer

\[
 \bar{X} \rightarrow N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})
\]
når $n \rightarrow \infty$.
\end{block}

PS: Gjeld uansett fordeling for $X_i$

\end{frame}

\begin{frame}{Lært i  dag}
 \begin{itemize}
  \item To utval med kjent varians {\color{olive} $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ bruker $Z$.}
  \item To utval med felles ukjent varians 
{\color{olive} $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ bruker $T$ med $S^2_p$.}
  \item To utval med ulik ukjent varians
{\color{olive} $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ approx $T$.}
  \item Parutval {\color{olive} (bildekk)}
  \item To andelar {\color{olive} normaltilnærming }

 \end{itemize}

\end{frame}

\end{document}

\end{document}

